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最近研究圖像處理，發(fā)現(xiàn)其中有許多相關(guān)的數(shù)學知識，所以我在網(wǎng)上找了一下。然后在這里總結(jié)一下。

梯度：

說起梯度我們首先想到的時數(shù)學上的一個公式

這個公式表示的是函數(shù)f(x,y)f(x,y) 在點 P(x,y)P(x,y) 的梯度,記作gradf(x,y)gradf(x,y),或▽f(x,y)▽f(x,y)。

在中表示方法是數(shù)學中的表示方法。其實可以發(fā)現(xiàn)如果上述的函數(shù)是一個單變量的函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)梯度就是導數(shù)，或者，對于一個線性函數(shù)，也就是線的斜率。當然光看著這個梯度公式還是比較抽象，所以現(xiàn)在說說它在物理學中的實際意義，這樣更有一個直觀的認識。

設(shè)體系中某處的物理參數(shù)(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數(shù)為w+dw，則稱為該物理參數(shù)的梯度，也即該物理參數(shù)的變化率。如果參數(shù)為速度、濃度、溫度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或者空間梯度。其實這個概念從他的表達式就可以看的出來。

在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。

那么重點來了，這個梯度在圖像處理中到底表示什么意思呢。

在圖像處理中我們可以把圖像看成一個離散的函數(shù)，這樣在里面對每一個像素值進行求導操作這樣就可以得到圖像的梯度。

圖像梯度: G(x,y) = dx i + dy j;

dx(i,j) = I(i+1,j) - I(i,j);

dy(i,j) = I(i,j+1) - I(i,j);

其中,I是圖像像素的值(如：RGB值)，(i,j)為像素的坐標。

圖像梯度一般也可以用中值差分：

dx(i,j) = [I(i+1,j) - I(i-1,j)]/2;

dy(i,j) = [I(i,j+1) - I(i,j-1)]/2;

這樣我們可以發(fā)現(xiàn)梯度表示的是圖像像素值的變化情況。當然求解圖像梯度還有很多種的方法。可以利用各種算子進行求解操作。

散度

散度的本質(zhì)是通量對體積的變化率，而且散度絕對值的大小反應了單位體積內(nèi)源的強度。如果divA>0表明改點處有正源；如果divA<0表明該點處有負源；如果divA=0表明該點無源。

什么話到底什么意思呢。下面引用知乎上面一個大神的解釋。

用水流來解釋，散度的物理意義可以敘述為：

如果一點的散度大于0，那么在這一點有一個水龍頭不斷往外冒水（稱為源點）

如果一點的散度小于0，那么在這一點有一個下水道，總有一些水只進不出（稱為匯點）

如果一點的散度等于0，那么請放心，在這個點周圍的小區(qū)域里，單位時間進來多少水就出去多少水。

根據(jù)上面我們可以得出散度的兩個具體的定義

第一種定義方式和坐標系無關(guān)：

第二種定義方式則是在直角坐標系下進行的：

可以證明，在極限存在的情況下，兩種定義是等價的。因此也常直接用 ▽⋅F▽⋅F代表 F的散度。

從定義中還可以看出，散度是向量場的一種強度性質(zhì)，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對應的廣延性質(zhì)是一個封閉區(qū)域表面的通量。一般我們在圖像處理中使用第二個公式的概率還是比較大的。一般會和梯度場一起連著用。其實在圖像處理中求解某一個圖像的散度可以使用拉普拉斯算子進行求解。這樣可以直接求解得到一個圖像的散度。

拉普拉斯方程

其中∇²為拉普拉斯算子，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。從上面公式的形式我們可以發(fā)現(xiàn)為什么說上面散度的求解方式可以利用拉普拉斯算子進行求解了。

泊松方程

其實拉普拉斯方程式泊松方程的一個簡化版。

泊松方程為△φ=f

在這里 △代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密頓算符▽的平方)，而 f 和 φ 可以是在流形上的實數(shù)或復數(shù)值的方程。可以發(fā)現(xiàn)泊松方程比拉普拉斯方程后面結(jié)果多了一個式子。f=0那么久可以得到了拉普拉斯方程了。

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