本文作者：一起剝堅(jiān)果

如果你問我，哪一種算法最重要？我可能會回答"公鑰加密算法"。

因?yàn)樗怯?jì)算機(jī)通信安全的基石，保證了加密數(shù)據(jù)不會被破解。你可以想象一下，信用卡交易被破解的后果。

進(jìn)入正題之前，我先簡單介紹一下，什么是"公鑰加密算法"。

一、一點(diǎn)歷史

1976年以前，所有的加密方法都是同一種模式：

（1）甲方選擇某一種加密規(guī)則，對信息進(jìn)行加密；

（2）乙方使用同一種規(guī)則，對信息進(jìn)行解密。

由于加密和解密使用同樣規(guī)則（簡稱"密鑰"），這被稱為"對稱加密算法"（Symmetric-key algorithm）。

這種加密模式有一個最大弱點(diǎn)：甲方必須把加密規(guī)則告訴乙方，否則無法解密。保存和傳遞密鑰，就成了最頭疼的問題。

1976年，兩位美國計(jì)算機(jī)學(xué)家Whitfield Diffie 和 Martin Hellman，提出了一種嶄新構(gòu)思，可以在不直接傳遞密鑰的情況下，完成解密。這被稱為"Diffie-Hellman密鑰交換算法"。這個算法啟發(fā)了其他科學(xué)家。人們認(rèn)識到，加密和解密可以使用不同的規(guī)則，只要這兩種規(guī)則之間存在某種對應(yīng)關(guān)系即可，這樣就避免了直接傳遞密鑰。

這種新的加密模式被稱為"非對稱加密算法"。

（1）乙方生成兩把密鑰（公鑰和私鑰）。公鑰是公開的，任何人都可以獲得，私鑰則是保密的。

（2）甲方獲取乙方的公鑰，然后用它對信息加密。

（3）乙方得到加密后的信息，用私鑰解密。

如果公鑰加密的信息只有私鑰解得開，那么只要私鑰不泄漏，通信就是安全的。

1977年，三位數(shù)學(xué)家Rivest、Shamir 和 Adleman 設(shè)計(jì)了一種算法，可以實(shí)現(xiàn)非對稱加密。這種算法用他們?nèi)齻€人的名字命名，叫做RSA算法。從那時直到現(xiàn)在，RSA算法一直是最廣為使用的"非對稱加密算法"。毫不夸張地說，只要有計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的地方，就有RSA算法。

這種算法非常可靠，密鑰越長，它就越難破解。根據(jù)已經(jīng)披露的文獻(xiàn)，目前被破解的最長RSA密鑰是768個二進(jìn)制位。也就是說，長度超過768位的密鑰，還無法破解（至少沒人公開宣布）。因此可以認(rèn)為，1024位的RSA密鑰基本安全，2048位的密鑰極其安全。

下面，我就進(jìn)入正題，解釋RSA算法的原理。文章共分成兩部分，今天是第一部分，介紹要用到的四個數(shù)學(xué)概念。你可以看到，RSA算法并不難，只需要一點(diǎn)數(shù)論知識就可以理解。

二、互質(zhì)關(guān)系

如果兩個正整數(shù)，除了1以外，沒有其他公因子，我們就稱這兩個數(shù)是互質(zhì)關(guān)系（coprime）。比如，15和32沒有公因子，所以它們是互質(zhì)關(guān)系。這說明，不是質(zhì)數(shù)也可以構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。

關(guān)于互質(zhì)關(guān)系，不難得到以下結(jié)論：

1. 任意兩個質(zhì)數(shù)構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系，比如13和61。

2. 一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，另一個數(shù)只要不是前者的倍數(shù)，兩者就構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系，比如3和10。

3. 如果兩個數(shù)之中，較大的那個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則兩者構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系，比如97和57。

4. 1和任意一個自然數(shù)是都是互質(zhì)關(guān)系，比如1和99。

5. p是大于1的整數(shù)，則p和p-1構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系，比如57和56。

6. p是大于1的奇數(shù)，則p和p-2構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系，比如17和15。

三、歐拉函數(shù)

請思考以下問題：

任意給定正整數(shù)n，請問在小于等于n的正整數(shù)之中，有多少個與n構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系？（比如，在1到8之中，有多少個數(shù)與8構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系？）

計(jì)算這個值的方法就叫做歐拉函數(shù)，以φ(n)表示。在1到8之中，與8形成互質(zhì)關(guān)系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的計(jì)算方法并不復(fù)雜，但是為了得到最后那個公式，需要一步步討論。

第一種情況

如果n=1，則 φ(1) = 1 。因?yàn)?與任何數(shù)（包括自身）都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。

第二種情況

如果n是質(zhì)數(shù)，則 φ(n)=n-1 。因?yàn)橘|(zhì)數(shù)與小于它的每一個數(shù)，都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。比如5與1、2、3、4都構(gòu)成互質(zhì)關(guān)系。

第三種情況

如果n是質(zhì)數(shù)的某一個次方，即 n = p^k (p為質(zhì)數(shù)，k為大于等于1的整數(shù))，則

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

這是因?yàn)橹挥挟?dāng)一個數(shù)不包含質(zhì)數(shù)p，才可能與n互質(zhì)。而包含質(zhì)數(shù)p的數(shù)一共有p^(k-1)個，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它們?nèi)コＯ碌木褪桥cn互質(zhì)的數(shù)。

上面的式子還可以寫成下面的形式：

可以看出，上面的第二種情況是 k=1 時的特例。

第四種情況

如果n可以分解成兩個互質(zhì)的整數(shù)之積，

n = p1 × p2

則

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即積的歐拉函數(shù)等于各個因子的歐拉函數(shù)之積。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

這一條的證明要用到"中國剩余定理"，這里就不展開了，只簡單說一下思路：如果a與p1互質(zhì)(a

第五種情況

因?yàn)槿我庖粋€大于1的正整數(shù)，都可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的積。

根據(jù)第4條的結(jié)論，得到

再根據(jù)第3條的結(jié)論，得到

也就等于

這就是歐拉函數(shù)的通用計(jì)算公式。比如，1323的歐拉函數(shù)，計(jì)算過程如下：

四、歐拉定理

歐拉函數(shù)的用處，在于歐拉定理。"歐拉定理"指的是：

如果兩個正整數(shù)a和n互質(zhì)，則n的歐拉函數(shù) φ(n) 可以讓下面的等式成立：

也就是說，a的φ(n)次方被n除的余數(shù)為1。或者說，a的φ(n)次方減去1，可以被n整除。比如，3和7互質(zhì)，而7的歐拉函數(shù)φ(7)等于6，所以3的6次方（729）減去1，可以被7整除（728/7=104）。

歐拉定理的證明比較復(fù)雜，這里就省略了。我們只要記住它的結(jié)論就行了。

歐拉定理可以大大簡化某些運(yùn)算。比如，7和10互質(zhì)，根據(jù)歐拉定理，

已知 φ(10) 等于4，所以馬上得到7的4倍數(shù)次方的個位數(shù)肯定是1。

因此，7的任意次方的個位數(shù)（例如7的222次方），心算就可以算出來。

歐拉定理有一個特殊情況。

假設(shè)正整數(shù)a與質(zhì)數(shù)p互質(zhì)，因?yàn)橘|(zhì)數(shù)p的φ(p)等于p-1，則歐拉定理可以寫成

這就是著名的費(fèi)馬小定理。它是歐拉定理的特例。

歐拉定理是RSA算法的核心。理解了這個定理，就可以理解RSA。

五、模反元素

還剩下最后一個概念：

如果兩個正整數(shù)a和n互質(zhì)，那么一定可以找到整數(shù)b，使得 ab-1 被n整除，或者說ab被n除的余數(shù)是1。

這時，b就叫做a的"模反元素"。

比如，3和11互質(zhì)，那么3的模反元素就是4，因?yàn)?(3 × 4)-1 可以被11整除。顯然，模反元素不止一個， 4加減11的整數(shù)倍都是3的模反元素 {...,-18,-7,4,15,26,...}，即如果b是a的模反元素，則 b+kn 都是a的模反元素。

歐拉定理可以用來證明模反元素必然存在。

可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

好了，需要用到的數(shù)學(xué)工具，全部介紹完了。RSA算法涉及的數(shù)學(xué)知識，就是上面這些，下一次我就來介紹公鑰和私鑰到底是怎么生成的。