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正如你可能知道的，四年一屆的世界杯最近正在巴西如火如荼地進(jìn)行著；但你可能不知道的是，今年參賽的32支隊(duì)伍各自擁有23名球員。本周數(shù)學(xué)小子（Math Dude）要講的趣事與足球和世界杯一點(diǎn)關(guān)系都沒有，那么我為什么還要提到這個(gè)有趣的事實(shí)呢？

請(qǐng)?jiān)试S我用一個(gè)問題來回答這個(gè)問題：來自同一個(gè)球隊(duì)的兩名球員生日在同一天的幾率有多大呢？看起來似乎非常小啊。畢竟，一年有365天，而一個(gè)隊(duì)只有23名球員——所以自然很難有兩個(gè)人生日同一天，不是嗎？但信不信由你，這種想法是錯(cuò)誤的。

我們很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上不少，也許甚至是大多數(shù)的世界杯球隊(duì)都會(huì)有兩位球員在同一天過生日。可這怎么可能呢？繼續(xù)閱讀下去，你將找到答案！

擲骰子的概率

為了幫助我們理解同一天生日的問題，我們來想下擲骰子出現(xiàn)相同點(diǎn)數(shù)的可能性。首先，當(dāng)你擲一個(gè)骰子的時(shí)候，出現(xiàn)6的可能性有多大？由于骰子有六個(gè)面，這個(gè)可能性是從六個(gè)面中出現(xiàn)其中一個(gè)，也是就1/6。

現(xiàn)在想象我們連續(xù)兩次擲同樣的骰子，那么這兩次，不論是幾，出現(xiàn)同樣數(shù)字的可能性有多大呢？不管我們第一次得到的是幾，第二次有1/6的可能得到同樣的數(shù)字。那么，再一次的，這個(gè)概率是1/6。

如果我們接著擲骰子，那么第三次我們得到同樣數(shù)字的可能性有多大呢？正如之前所看到的，有1/6的概率連續(xù)兩次得到同樣數(shù)字。同樣的，無論這個(gè)數(shù)字是幾， 第三次出現(xiàn)同樣數(shù)字的概率依然是1/6。所以，連續(xù)三次擲骰子得到同樣數(shù)字的概率是1/6x 1/6 = 1/36。

三個(gè)骰子的概率

現(xiàn)在，我們來思考一個(gè)有點(diǎn)難度的問題：如果擲三個(gè)骰子，那么至少出現(xiàn)兩個(gè)同樣數(shù)字的可能性有多大？解決這個(gè)問題的一個(gè)方法是：找出所有能夠出現(xiàn)兩個(gè)或以上相同數(shù)字的概率，之后將其相加得到總概率。在這種思路下，有兩種情況我們需要考慮：

1.如果第二個(gè)骰子的數(shù)字和第一個(gè)一樣，既然已經(jīng)有一對(duì)相同的數(shù)字那么第三個(gè)骰子出現(xiàn)的數(shù)字就是無關(guān)緊要的。這種情況發(fā)生的概率是多少呢？我們之前計(jì)算過的，是1/6。

2. 如果第二個(gè)骰子的數(shù)字和第一個(gè)不一樣（這種情況發(fā)生的概率是5/6），那么要想得到一對(duì)相同數(shù)字的方法就是第三個(gè)骰子的數(shù)字要么和第一個(gè)相同，要么和第二 個(gè)相同。這種情況發(fā)生的概率是2/6。這意味著整個(gè)過程的概率是5/6x 2/6 = 10/36，也就是5/18。

為了計(jì)算至少出現(xiàn)兩個(gè)同樣數(shù)字的總概率，我們需要將以上兩種情況的概率相加。所以，總概率是1/6（第二個(gè)骰子和第一個(gè)相同的概率）加上5/18（第三個(gè)骰 子與第一個(gè)或者第二個(gè)骰子相同的概率），總和即是1/6 + 5/18 = 3/18 + 5/18 = 8/18，也就是4/9。換句話說，擲三個(gè)骰子，有大約44.4%的概率得到兩個(gè)或兩個(gè)以上相同的數(shù)字。

計(jì)算概率的小竅門

但事實(shí)上我們并不需要做這么多的工作。想要計(jì)算至少出現(xiàn)兩個(gè)同樣數(shù)字的概率，我們可以反過來計(jì)算不出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上同樣數(shù)字的概率。換句話說，我們可以先計(jì)算每個(gè)骰子出現(xiàn)的數(shù)字都不同的概率。

這么做有什么好處呢？因?yàn)槿齻€(gè)骰子出現(xiàn)至少兩個(gè)數(shù)字相同的概率，與不出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上同樣數(shù)字的概率相加之和應(yīng)該為1——這就是概率的原理。所以我們可 以不用像剛剛那樣計(jì)算（需要記錄的情況有點(diǎn)多），而用另一種方法代替——那就是計(jì)算不出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上同樣數(shù)字的概率（我們即將看到這要簡(jiǎn)單得多），然 后從1中減掉這個(gè)概率。

在這個(gè)問題中，不管第一個(gè)骰子的數(shù)字是幾，第二個(gè)骰子出現(xiàn)與它相同數(shù)字的概率是1/6，也就是說有5/6的概率它們是不同的。由于我們的關(guān)注點(diǎn)在于三個(gè)骰子 出現(xiàn)不同數(shù)字的概率，所以我們需要按照后一種情況計(jì)算。接下來，有4/6的概率第三個(gè)骰子出現(xiàn)與前兩者都不同的數(shù)字。這意味著三個(gè)骰子的數(shù)字都不同的概率 是5/6 x 4/6 = 20/36 = 5/9，大約是55.6%。

那么這告訴我們至少出現(xiàn)兩個(gè)同樣數(shù)字的概率是多少呢？這種情況出現(xiàn)的概率一定是1 - 5/9 = 4/9。這其實(shí)與我們用前一種方法得到的答案是一樣的——但這次我們的計(jì)算變得簡(jiǎn)單多了！這感覺棒極了，是嗎？

生日問題

不管你是否相信，只需使用這個(gè)方法，我們就可以解決生日問題了，即由23名球員組成的各支世界杯參賽隊(duì)中，某隊(duì)中有兩位球員生日相同的概率是多少。思路是 這樣的：我們不去計(jì)算兩個(gè)人生日相同的可能性，而是去計(jì)算球隊(duì)23個(gè)人的生日都不同的可能性。我們一旦知道了后者的概率，那么得到互補(bǔ)概率就非常容易了。

將球隊(duì)球員編號(hào)，前兩名球員生日不同的概率是364/365，第三名球員與前兩名生日不同的概率是363/365（因?yàn)橐呀?jīng)有兩天被生日占據(jù)了），第四名球員與前三名生日都不同的概率是362/365，以此類推，直到第23名球員，他的概率是343/365。

為了計(jì)算隊(duì)中所有人的生日都不同的概率，我們需要將這些概率做乘法。如果計(jì)算一下，你會(huì)發(fā)現(xiàn)364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 343/365的結(jié)果近似等于0.49。這也就表示，有49%的可能性所有人的生日都不同；同時(shí)說明了有1 - 0.49 = 0.51，即51%的可能性兩人或更多人的生日會(huì)在同一天。

那么對(duì)于一整個(gè)數(shù)學(xué)班的學(xué)生來說情況會(huì)怎么樣呢？如果按照30人一個(gè)班級(jí)計(jì)算，兩人或更多人的生日相同的概率大約是71%。

這結(jié)果可能與你的直覺相反，但它是真的——即使在一個(gè)相對(duì)小型的球隊(duì)或班級(jí)中，兩個(gè)人生日相同的可能性也非常大。有時(shí)候數(shù)學(xué)真奇妙！(撰文：賈森•馬沙爾（Jason Marshall） 翻譯：楊青 審稿：張哲)