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正如你可能知道的，四年一屆的世界杯最近正在巴西如火如荼地進行著；但你可能不知道的是，今年參賽的32支隊伍各自擁有23名球員。本周數學小子（Math Dude）要講的趣事與足球和世界杯一點關系都沒有，那么我為什么還要提到這個有趣的事實呢？

請允許我用一個問題來回答這個問題：來自同一個球隊的兩名球員生日在同一天的幾率有多大呢？看起來似乎非常小啊。畢竟，一年有365天，而一個隊只有23名球員——所以自然很難有兩個人生日同一天，不是嗎？但信不信由你，這種想法是錯誤的。

我們很快就會發現，實際上不少，也許甚至是大多數的世界杯球隊都會有兩位球員在同一天過生日。可這怎么可能呢？繼續閱讀下去，你將找到答案！

擲骰子的概率

為了幫助我們理解同一天生日的問題，我們來想下擲骰子出現相同點數的可能性。首先，當你擲一個骰子的時候，出現6的可能性有多大？由于骰子有六個面，這個可能性是從六個面中出現其中一個，也是就1/6。

現在想象我們連續兩次擲同樣的骰子，那么這兩次，不論是幾，出現同樣數字的可能性有多大呢？不管我們第一次得到的是幾，第二次有1/6的可能得到同樣的數字。那么，再一次的，這個概率是1/6。

如果我們接著擲骰子，那么第三次我們得到同樣數字的可能性有多大呢？正如之前所看到的，有1/6的概率連續兩次得到同樣數字。同樣的，無論這個數字是幾， 第三次出現同樣數字的概率依然是1/6。所以，連續三次擲骰子得到同樣數字的概率是1/6x 1/6 = 1/36。

三個骰子的概率

現在，我們來思考一個有點難度的問題：如果擲三個骰子，那么至少出現兩個同樣數字的可能性有多大？解決這個問題的一個方法是：找出所有能夠出現兩個或以上相同數字的概率，之后將其相加得到總概率。在這種思路下，有兩種情況我們需要考慮：

1.如果第二個骰子的數字和第一個一樣，既然已經有一對相同的數字那么第三個骰子出現的數字就是無關緊要的。這種情況發生的概率是多少呢？我們之前計算過的，是1/6。

2. 如果第二個骰子的數字和第一個不一樣（這種情況發生的概率是5/6），那么要想得到一對相同數字的方法就是第三個骰子的數字要么和第一個相同，要么和第二 個相同。這種情況發生的概率是2/6。這意味著整個過程的概率是5/6x 2/6 = 10/36，也就是5/18。

為了計算至少出現兩個同樣數字的總概率，我們需要將以上兩種情況的概率相加。所以，總概率是1/6（第二個骰子和第一個相同的概率）加上5/18（第三個骰 子與第一個或者第二個骰子相同的概率），總和即是1/6 + 5/18 = 3/18 + 5/18 = 8/18，也就是4/9。換句話說，擲三個骰子，有大約44.4%的概率得到兩個或兩個以上相同的數字。

計算概率的小竅門

但事實上我們并不需要做這么多的工作。想要計算至少出現兩個同樣數字的概率，我們可以反過來計算不出現兩個或兩個以上同樣數字的概率。換句話說，我們可以先計算每個骰子出現的數字都不同的概率。

這么做有什么好處呢？因為三個骰子出現至少兩個數字相同的概率，與不出現兩個或兩個以上同樣數字的概率相加之和應該為1——這就是概率的原理。所以我們可 以不用像剛剛那樣計算（需要記錄的情況有點多），而用另一種方法代替——那就是計算不出現兩個或兩個以上同樣數字的概率（我們即將看到這要簡單得多），然 后從1中減掉這個概率。

在這個問題中，不管第一個骰子的數字是幾，第二個骰子出現與它相同數字的概率是1/6，也就是說有5/6的概率它們是不同的。由于我們的關注點在于三個骰子 出現不同數字的概率，所以我們需要按照后一種情況計算。接下來，有4/6的概率第三個骰子出現與前兩者都不同的數字。這意味著三個骰子的數字都不同的概率 是5/6 x 4/6 = 20/36 = 5/9，大約是55.6%。

那么這告訴我們至少出現兩個同樣數字的概率是多少呢？這種情況出現的概率一定是1 - 5/9 = 4/9。這其實與我們用前一種方法得到的答案是一樣的——但這次我們的計算變得簡單多了！這感覺棒極了，是嗎？

生日問題

不管你是否相信，只需使用這個方法，我們就可以解決生日問題了，即由23名球員組成的各支世界杯參賽隊中，某隊中有兩位球員生日相同的概率是多少。思路是 這樣的：我們不去計算兩個人生日相同的可能性，而是去計算球隊23個人的生日都不同的可能性。我們一旦知道了后者的概率，那么得到互補概率就非常容易了。

將球隊球員編號，前兩名球員生日不同的概率是364/365，第三名球員與前兩名生日不同的概率是363/365（因為已經有兩天被生日占據了），第四名球員與前三名生日都不同的概率是362/365，以此類推，直到第23名球員，他的概率是343/365。

為了計算隊中所有人的生日都不同的概率，我們需要將這些概率做乘法。如果計算一下，你會發現364/365 x 363/365 x 362/365 x ... x 343/365的結果近似等于0.49。這也就表示，有49%的可能性所有人的生日都不同；同時說明了有1 - 0.49 = 0.51，即51%的可能性兩人或更多人的生日會在同一天。

那么對于一整個數學班的學生來說情況會怎么樣呢？如果按照30人一個班級計算，兩人或更多人的生日相同的概率大約是71%。

這結果可能與你的直覺相反，但它是真的——即使在一個相對小型的球隊或班級中，兩個人生日相同的可能性也非常大。有時候數學真奇妙！(撰文：賈森•馬沙爾（Jason Marshall） 翻譯：楊青 審稿：張哲)